Por René Arellano
En los proyectos ferroviarios modernos, la topografía desempeña un papel fundamental para asegurar que la infraestructura se construya exactamente en la posición y con la geometría prevista. Una correcta georreferenciación y cálculo de distancias es crucial, especialmente cuando las vías férreas se extienden a lo largo de decenas o cientos de kilómetros. En este contexto surge el concepto de factor de escala, un elemento técnico a menudo subestimado pero que puede provocar errores significativos si no se considera. Ignorar la curvatura de la Tierra y las distorsiones de la proyección cartográfica puede conducir a discrepancias notables: por ejemplo, a la escala de un país como el Reino Unido las distorsiones alcanzan alrededor de 400 ppm (partes por millón), lo que significa que una distancia de diseño de 100 m en el plano podría equivaler a solo ~99,96 m sobre el terreno real. Aunque diferencias de centímetros en decenas de metros podrían parecer insignificantes, en las obras ferroviarias de alta precisión esos errores se acumulan y pueden exceder las tolerancias admisibles, comprometiendo la alineación de la vía. Un caso ilustrativo fue el del proyecto Crossrail en Londres, donde se determinó que utilizar un sistema de coordenadas estándar sin ajustes habría introducido desviaciones de hasta 20 cm por kilómetro debido a la curvatura terrestre. Esta cifra es crítica: en entornos urbanos densos, un error de esa magnitud podría significar que túneles o vías nuevas interfieran con infraestructuras existentes, con consecuencias potencialmente catastróficas.
En este artículo, dirigido a profesionales del ámbito ferroviario, se explica en tono técnico y profesional qué es el factor de escala, por qué es esencial en el trazado de vías férreas y cuáles son las consecuencias de no calcularlo adecuadamente. Asimismo, se presenta un ejemplo real de cómo la falta de consideración del factor de escala podría hacer fracasar un proyecto ferroviario, enfatizando la necesidad de su cálculo y aplicación en la práctica topográfica ferroviaria.
¿Qué es el factor escala?
En topografía y geodesia, el factor de escala es un coeficiente utilizado para relacionar las distancias medidas sobre el terreno con las distancias representadas en un plano de coordenadas proyectadas. Debido a la curvatura de la Tierra, no es posible plasmar grandes extensiones en un sistema de coordenadas plano sin introducir distorsiones: a medida que aumenta el tamaño del área cubierta por un levantamiento, aumenta la discrepancia entre la distancia real horizontal en terreno y la distancia equivalente en el sistema de proyección cartográfica.
Para comprender este concepto, es útil desglosar el factor de escala en dos componentes principales:
- Factor de escala de cuadrícula (proyección): Convierte distancias geodésicas (medidas sobre la superficie del elipsoide terrestre) en distancias en el plano de proyección cartográfica. Este factor depende de la ubicación en x,y (latitud/longitud proyectada) y de las propiedades de la proyección utilizada. Por ejemplo, en la proyección UTM comúnmente utilizada, existe un factor de escala inicial de k₀ (0,9996 en el meridiano central) que significa que a lo largo del centro del huso las distancias en el mapa están ligeramente reducidas (~0,04%) respecto a las del terreno para controlar la distorsión en los bordes del huso.
- Factor de elevación (factor de altura): Convierte distancias medidas a nivel del elipsoide en distancias horizontales reales en el terreno, teniendo en cuenta la altitud del lugar. En esencia, cuando se mide una distancia en campo con una estación total o equipo EDM, esa medición suele referirse a la distancia reducida al plano horizontal a la elevación del terreno. Sin embargo, ese plano local horizontal está a cierta altura sobre el nivel del mar (o sobre el elipsoide de referencia), por lo que la distancia geodésica correspondiente en la superficie de la Tierra difiere ligeramente. Este factor se calcula a partir de la altura elipsoidal z del punto medio de la línea medida. Aunque normalmente la diferencia entre la altura del terreno y el nivel del mar no altera drásticamente las longitudes, a elevaciones significativas la corrección se vuelve apreciable. Por ejemplo, a unos 700 m sobre el nivel del mar, la corrección por elevación alcanza del orden de 0,00011 (11 cm por kilómetro), valor nada despreciable dado que los actuales equipos topográficos pueden medir kilómetros con apenas pocos centímetros de error.
Cuando combinamos ambos efectos (la distorsión de la proyección plana y la de la altitud) obtenemos el factor de escala combinado. Matemáticamente, el factor de escala combinado es el producto del factor de escala de la cuadrícula por el factor de elevación. Este factor combinado es el multiplicador que debe aplicarse a una distancia medida en el terreno para convertirla en la distancia equivalente en el sistema de coordenadas plano (o viceversa). En otras palabras, permite proyectar correctamente longitudes reales al plano cartográfico compensando las distorsiones lineales introducidas tanto por la curvatura terrestre como por la altura del terreno.
Un factor combinado mayor o menor que 1 indica cómo difieren las longitudes: si, por ejemplo, el factor global en cierta zona es 0.9999, significa que 1 kilómetro medido en el terreno se representará como 0.9999 km (999.9 m) en las coordenadas planas. Para coincidir con el diseño en coordenadas, la distancia en terreno debería ajustarse ligeramente. Por el contrario, un factor de 1.0001 indicaría que 1 km en el plano equivale a 1.0001 km (1000.1 m) en el terreno real. Normalmente, los factores de escala en proyectos de tamaño moderado están muy cerca de la unidad (diferencias de pocas partes por millón), pero incluso pequeñas desviaciones acumuladas pueden exceder las tolerancias en ingeniería de precisión.
Importancia del factor de escala en las vías férreas
El ámbito ferroviario impone requisitos geométricos muy rigurosos. A diferencia de proyectos menores, una línea férrea puede extenderse decenas o cientos de kilómetros atravesando distintas zonas geográficas e incluso cambiando de sistema de referencia cartográfico en el camino. Además, en ferrocarriles de alta velocidad o de tráfico intenso, desviaciones de apenas milímetros o pocos centímetros en la geometría de la vía pueden traducirse en problemas de seguridad, vibraciones excesivas o dificultades para conectar tramos construidos por equipos distintos. Por eso, las agencias ferroviarias suelen exigir precisiones altísimas en topografía; por ejemplo, en el Reino Unido se establece que el error máximo permisible en el alineamiento de una vía es de ±5 mm. Esta tolerancia tan estrecha es relativamente fácil de mantener dentro de un mismo tramo topográfico controlado, pero se puede perder con la misma facilidad si se salta de un sistema de coordenadas a otro o si no se homogeneiza la referencia en toda la longitud del proyecto.
El factor de escala juega aquí un papel crítico. Consideremos un proyecto ferroviario extenso diseñado utilizando coordenadas proyectadas (por ejemplo, coordenadas UTM o alguna proyección cartográfica oficial). Si los ingenieros y topógrafos construyen la vía ajustándose únicamente a las distancias planas de ese diseño, sin aplicar correcciones, podrían estar introduciendo inadvertidamente una discrepancia lineal. Puede ocurrir que cada segmento de alrededor de un 1 km de vía, quede unos milímetros más corto o más largo en el terreno real de lo que indicaba el plano, debido a que las distancias en la proyección no equivalen 1:1 a las del terreno. Aunque unos milímetros por kilómetro parecen despreciables, al sumar muchos kilómetros la diferencia puede crecer a varios centímetros o incluso metros. Imaginemos dos equipos de construcción iniciando la colocación de rieles desde extremos opuestos de un largo túnel o viaducto: si cada uno avanza con una ligera diferencia de escala en sus medidas, al encontrarse en el centro pueden descubrir que las vías no encajan perfectamente, quedando desfasadas longitudinal o lateralmente. Esto obligaría a cortes y reajustes costosos, o en el peor caso haría inoperante el tramo hasta corregirlo.
Otro aspecto a considerar es la interacción con estructuras fijas y los puntos de enlace. Las vías férreas deben conectar con precisión en puntos específicos: estaciones, cambios de aguja, puentes, túneles, conexiones a líneas existentes, etc. Si el trazado real se desplaza respecto al proyectado por culpa de un factor de escala ignorado, esos puntos críticos no coincidirán en la posición prevista. Por ejemplo, en una obra sin factor de corrección, un viaducto prefabricado podría quedar corto o largo en relación con la vía, o un túnel perforado desde dos extremos podría tener un quiebre al unirse. De hecho, en la historia de la ingeniería se conocen desafíos importantes para alinear túneles largos: para que el famoso Túnel del Canal de la Mancha (50 km bajo el mar) los equipos británico y francés se encontraran exactamente, fue necesario un control geodésico finísimo que incluyó correcciones de escala de la red geodésica (en ese caso del orden de –22 ppm). Sin tales ajustes, cada equipo habría estado excavando con referencias ligeramente distintas y la unión bajo el mar podría haber fallado su objetivo por decenas de centímetros.
En el caso de los ferrocarriles, las líneas suelen tener pendientes y rampas para salvar la topografía del terreno, lo que implica diferencias de altura considerables a lo largo del recorrido. Como se mencionó, los cambios de elevación también afectan el factor de escala: aproximadamente 10 ppm de distorsión horizontal por cada 64 m de desnivel. Un tren que sube una montaña de 200 m de altura añade alrededor de 30 ppm (0,003%) de contracción de distancia horizontal por efecto de la altitud. Si no se contempla, esta contracción se sumaría a la propia de la proyección en planta. Por tanto, en rutas ferroviarias que combinan gran longitud y cambios topográficos, la diferencia acumulada puede ser significativa. Para proyectos lineales extensos, ninguna proyección cartográfica convencional puede mantener una escala perfecta en toda la ruta sin alguna forma de partición o ajuste. Es común que se establezcan sistemas locales de coordenadas a lo largo del trazado; por ejemplo, subdividir la ruta en tramos de ~10 km con sus propios factores de escala calibrados, de modo que en el centro de cada tramo la distorsión sea nula y crezca hacia los extremos donde se empalma con el siguiente tramo. Sin embargo, manejar múltiples zonas y sus transiciones añade complejidad, y cualquier descuido en esas uniones podría traducirse en errores superiores a los tolerados (recordemos los ±5 mm). En efecto, al diseñar alineaciones que atraviesan los límites entre zonas de proyección, las limitaciones de este enfoque se hacen evidentes. Si no se aplica un tratamiento cuidadoso, el simple hecho de pasar de un sistema de coordenadas parcial a otro puede introducir un salto que eche por tierra la consistencia del diseño.
En resumen, no considerar el factor de escala en vías férreas equivale a aceptar una fuente sistemática de error en las longitudes y posiciones, pequeña en magnitud local pero de impacto potencialmente grande en el conjunto de la obra. En proyectos ferroviarios reales, este factor es tan importante que muchas veces se implementan soluciones especializadas para controlarlo, como veremos a continuación en un caso práctico.
Consecuencias de ignorar el factor de escala: ejemplo real
Para ilustrar concretamente los riesgos, resulta esclarecedor el caso de Crossrail en Londres, uno de los proyectos ferroviarios más ambiciosos y complejos de las últimas décadas. Crossrail (ahora conocida como la línea Elizabeth Line) consiste en una serie de túneles gemelos de aproximadamente 42 km atravesando el subsuelo de Londres, integrándose con múltiples líneas existentes de metro y ferrocarril. La planificación de esta megaobra topográfica enfrentó un desafío peculiar: la curvatura de la Tierra iba a afectar las coordenadas en un grado no despreciable debido a la longitud de los túneles.
Inicialmente, los ingenieros consideraron utilizar el sistema de coordenadas estándar del Reino Unido (British National Grid, basado en proyección Transversa de Mercator). No obstante, se descubrió que este sistema introducía una distorsión demasiado grande para las exigencias de Crossrail. En concreto, las simulaciones mostraron que, de emplear directamente las coordenadas de mapa habituales sin ajustes, las tuneladoras experimentarían una desviación de hasta 20 centímetros por kilómetro excavado, producto de la convergencia de meridianos y la proyección sobre plano. Puede parecer un desvío mínimo, pero en el contexto subterráneo de Londres habría sido desastroso: los túneles de Crossrail discurren a escasos metros de otros túneles del Metro, alcantarillado y cimientos de edificios históricos. Una desviación acumulada de decenas de centímetros podría significar que una tuneladora emergiera fuera del corredor previsto o incluso impactara con otra estructura. De hecho, en el sector de Tottenham Court Road, donde la nueva línea pasa muy cerca de túneles existentes, se calculó que de no corregir la curvatura terrestre la cabeza de corte de la tuneladora habría perforado el túnel de la línea Northern del metro de Londres al llegar a destino. En otras palabras, los dos túneles (Crossrail y Northern) habrían colisionado por un error de referencia cartográfica, lo que hubiera constituido un fallo catastrófico en el proyecto.
Conscientes de este riesgo, los responsables del proyecto implementaron una solución geodésica especial: definieron una proyección cartográfica personalizada para el ámbito de la obra, denominada London Survey Grid (LSG). Esta proyección a medida ajustó el factor de escala de manera que las distorsiones por curvatura se redujeron drásticamente, pasando de ~20 cm/km a apenas 1 mm por kilómetro. En esencia, movieron el meridiano central de la proyección hacia el centro de Londres y adaptaron la escala para que en el corredor de Crossrail la relación plano-terreno fuera lo más cercana posible a 1:1. Así, cualquier discrepancia residual quedaba dentro de márgenes milimétricos, controlables con los métodos topográficos de alta precisión disponibles. Esta LSG se dividió adicionalmente en varias zonas o sub-rejillas con parámetros correctivos para lograr una transición suave entre la LSG y el sistema nacional BNG, permitiendo convertir coordenadas de un sistema a otro sin saltos apreciables. Gracias a estas medidas, todos los datos de diseño y construcción de Crossrail compartieron una base geoespacial coherente y curvatura-correcta; asegurando que, al excavar y tender las vías, la realidad física coincidiera con el modelo teórico dentro de las tolerancias requeridas. El resultado final fue exitoso: los túneles de Crossrail se encontraron con precisiones del orden de pocos milímetros, evitando cualquier conflicto con la multitud de infraestructuras preexistentes en el subsuelo de Londres.
El ejemplo de Crossrail muestra vívidamente por qué un proyecto ferroviario puede fallar sin el cálculo del factor de escala, si los ingenieros hubieran procedido con la cartografía convencional sin ajustes, habrían enfrentado costosos reprocesos, demoras e incluso riesgos de seguridad al descubrir que “algo no encajaba” bajo tierra. En este caso, lejos de ignorarse, el factor de escala se convirtió en una consideración de primer orden desde la etapa de diseño. Proyectos similares alrededor del mundo han adoptado estrategias equivalentes. En Reino Unido, la empresa Network Rail ha llegado a estandarizar el uso de proyecciones especializadas (por ejemplo, sistemas tipo SnakeGrid) para sus corredores principales, justamente para mantener el factor de escala lo más cercano a la unidad y evitar distorsiones acumulativas en largos trazados. SnakeGrid y sistemas afines utilizan algoritmos polinomiales para “encajar” la proyección a la ruta sinuosa de la vía, de forma que a lo largo de cientos de kilómetros la variación de escala sea mínima (del orden de pocas ppm) y continua, evitando rupturas entre segmentos. Por su parte, en España y otros países, es común que en líneas de alta velocidad se establezcan redes topográficas locales apoyadas en los marcos geodésicos nacionales, pero calibradas con un factor de escala específico. Así se hizo, por ejemplo, en la perforación de un túnel ferroviario de 25 km en Asturias, donde al transformar las coordenadas entre el sistema europeo ETRS89 y el sistema ED50 (vigente en proyectos antiguos) se aplicó un factor de escala de aproximadamente –22 ppm para garantizar un cierre correcto de la obra. Estos ajustes evitaron divergencias de hasta unos 50 mm en la unión de tramos, lo que era imprescindible para cumplir con las especificaciones de precisión del túnel.
En suma, la lección del caso Crossrail y de otros proyectos internacionales es clara: el factor de escala no es opcional. No calcularlo o no aplicarlo correctamente puede condenar a un proyecto ferroviario al fracaso técnico, ya sea por no cerrar un túnel, por provocar descarrilamientos debido a alineaciones incorrectas o por obligar a reconstrucciones costosas para alinear la vía con las estructuras. Las mejores prácticas de la industria incorporan desde el inicio la consideración de las distorsiones geodésicas, ya sea mediante cálculos manuales de corrección para cada línea medida, o mediante la adopción de sistemas de coordenadas ad-hoc que simplifiquen el trabajo al mantener prácticamente 1:1 la escala en el corredor de diseño.
Conclusiones
El factor de escala es un factor crítico en la topografía aplicada a vías férreas que garantiza la fidelidad geométrica entre el plano de diseño y la obra construida en el terreno. Consiste esencialmente en corregir las mediciones para contrarrestar la curvatura terrestre y la altura sobre el elipsoide, evitando errores acumulativos en longitudes y posiciones. A primera vista, el factor de escala podría parecer una minucia matemática, pero en proyectos ferroviarios de gran envergadura su impacto es muy real: omitirlo puede traducirse en desplazamientos de centímetros o metros que exceden por mucho las tolerancias de construcción en este sector.
Hemos visto que, en alineamientos ferroviarios extensos, un error de escala no corregido puede manifestarse como vías que no se conectan correctamente, túneles que no se encuentran en el punto previsto, o interferencias indeseadas con otras infraestructuras. Este tipo de fallos puede comprometer la viabilidad técnica y la seguridad del proyecto, además de generar sobrecostes y retrasos considerables. Un ejemplo emblemático lo proporcionó Crossrail, donde la previsión y corrección del factor de escala fue indispensable para evitar un desvío de 20 cm/km que habría resultado desastroso en plena ciudad. La solución implementada (una proyección local de alta fidelidad “LSG”) permitió reducir la distorsión a niveles milimétricos y entregar la obra exitosamente. Del mismo modo, otras iniciativas internacionales han demostrado que invertir en un buen modelado geodésico (ya sea mediante proyecciones personalizadas, redes de control denso o simplemente aplicando rigurosamente el factor de escala combinado en cada medición) es un seguro contra errores de replanteo.
En conclusión, todo profesional ferroviario involucrado en levantamientos topográficos o diseño de trazados debe entender y aplicar el factor de escala. Esto implica determinar el factor combinado (proyección × altura) pertinente para la zona del proyecto y utilizarlo para convertir distancias terreno-cuadrícula con precisión. También implica planificar la referencia de coordenadas del proyecto de manera que las distorsiones sean controlables: ya sea adoptando un sistema local con factor 1:1 en el eje de la vía, dividiendo el proyecto en zonas de escala limitada, o empleando soluciones avanzadas como SnakeGrid para líneas muy extensas. Al adoptar estas prácticas, se asegura que lo que se dibuja en el plano es lo que realmente se construye, evitando sorpresas desagradables.
En el competitivo mundo ferroviario actual, donde las obras son cada vez más complejas e internacionales, la rigurosidad en factores geodésicos marca la diferencia entre un proyecto bien ejecutado y un fiasco técnico. Por tanto, el cálculo del factor de escala no debe ser visto como un trámite opcional, sino como un requisito indispensable en la ejecución de cualquier proyecto ferroviario serio y de calidad. La experiencia ha demostrado que aquello que no se corrige en el papel, habrá que corregirlo en el terreno con un costo mucho mayor; en cambio, al respetar el factor de escala desde el inicio, garantizamos que la vía férrea llegue a su destino exactamente como fue proyectada, sin contratiempos ni desviaciones indeseadas.
Dr. René Arellano
Ingeniero Geomático
Maestría en Dirección de Proyectos de Innovación
Maestría en Ingeniería Geomática y Geoinformación
Maestría en Sistemas Ferroviarios
Doctor Honoris Causa en Geomática
